Lös {ccc}{i}&{j}&{k}{1}&{1}&{1}{1}&{1}&{-1}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right|$$

Beräkna

$$2\left(j-i\right)$$

Steg med Sarrus regel

Beräkna matrisens determinant med hjälp av diagonalmetoden.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&1&1\\1&1&-1\end{matrix}\right))$$

Utveckla den ursprungliga matrisen genom att upprepa de första två kolumnerna som fjärde och femte kolumn.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&1&1&1&1\\1&1&-1&1&1\end{matrix}\right)$$

Börja med det översta vänstra elementet, multiplicera nedåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$-i+j+k=j+k-i$$

Börja med det nedersta vänstra elementet, multiplicera uppåt längs diagonalerna och addera de resulterande produkterna.

$$k+i-j=i+k-j$$

Subtrahera summan av de uppåtgående diagonalprodukterna från summan av de nedåtgående diagonalprodukterna.

$$j+k-i-\left(i+k-j\right)$$

Subtrahera k+i-j från -i+j+k.

$$2j-2i$$

Steg med utveckling av deldeterminanter

Beräkna matrisens determinant med hjälp av metoden för utveckling av deldeterminanter (kallas även för utveckling av kofaktorer).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&1&1\\1&1&-1\end{matrix}\right))$$

För utveckling av deldeterminanter multiplicerar du varje element i den första raden med dess deldeterminant, d.v.s. determinanten för den 2\times 2-matris som skapas genom att ta bort raden och kolumnen som innehåller elementet, och multiplicerar sedan med tecknet för elementets plats.

$$idet(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}\right))$$

För den 2\times 2 matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är determinanten ad-bc.

$$i\left(-1-1\right)-j\left(-1-1\right)+k\left(1-1\right)$$

Förenkla.

$$-2i-j\left(-2\right)$$

Addera termerna för att få slutresultatet.

$$2j-2i$$