Lös {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Lös ut y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-2x=4$$

Addera 2x till båda ekvationsled.

$$y=2x+4$$

Ersätt y med 4+2x i den andra ekvationen, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Multiplicera 3 med 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Addera 6x till 2x.

$$8x+12=28$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$8x=16$$

Dividera båda led med 8.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i y=2x+4. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=2\times 2+4$$

Multiplicera 2 med 2.

$$y=4+4$$

Addera 4 till 4.

$$y=8$$

Systemet har lösts.

$$y=8,x=2$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=8,x=2$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Gör y och 3y lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 3 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Förenkla.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Subtrahera 3y+2x=28 från 3y-6x=12 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Addera 3y till -3y. Termerna 3y och -3y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-6x-2x=12-28$$

Addera -6x till -2x.

$$-8x=12-28$$

Addera 12 till -28.

$$-8x=-16$$

Dividera båda led med -8.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i 3y+2x=28. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$3y+2\times 2=28$$

Multiplicera 2 med 2.

$$3y+4=28$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$3y=24$$

Dividera båda led med 3.

$$y=8$$

Systemet har lösts.

$$y=8,x=2$$