Lös {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Lös ut y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 3x från båda led.

$$y-3x=0$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-3x=0$$

Addera 3x till båda ekvationsled.

$$y=3x$$

Ersätt y med 3x i den andra ekvationen, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Addera 3x till x.

$$4x=16$$

Dividera båda led med 4.

$$x=4$$

Ersätt x med 4 i y=3x. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=3\times 4$$

Multiplicera 3 med 4.

$$y=12$$

Systemet har lösts.

$$y=12,x=4$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 3x från båda led.

$$y-3x=0$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=12,x=4$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 3x från båda led.

$$y-3x=0$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Subtrahera y+x=16 från y-3x=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-3x-x=-16$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-3x-x=-16$$

Addera -3x till -x.

$$-4x=-16$$

Dividera båda led med -4.

$$x=4$$

Ersätt x med 4 i y+x=16. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+4=16$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$y=12$$

Systemet har lösts.

$$y=12,x=4$$