Lös {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Lös ut x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Lägg till y på båda sidorna.

$$x+y=0$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+y=0$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$x=-y$$

Ersätt x med -y i den andra ekvationen, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Multiplicera 2 med -y.

$$-2y+y=5$$

Addera -2y till y.

$$-y=5$$

Dividera båda led med -1.

$$y=-5$$

Ersätt y med -5 i x=-y. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\left(-5\right)$$

Multiplicera -1 med -5.

$$x=5$$

Systemet har lösts.

$$x=5,y=-5$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Lägg till y på båda sidorna.

$$x+y=0$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=5,y=-5$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Lägg till y på båda sidorna.

$$x+y=0$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Subtrahera 2x+y=5 från x+y=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$x-2x+y-y=-5$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$x-2x=-5$$

Addera x till -2x.

$$-x=-5$$

Dividera båda led med -1.

$$x=5$$

Ersätt x med 5 i 2x+y=5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$2\times 5+y=5$$

Multiplicera 2 med 5.

$$10+y=5$$

Subtrahera 10 från båda ekvationsled.

$$y=-5$$

Systemet har lösts.

$$x=5,y=-5$$