Lös {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Lös ut x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+2y=60$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$x=-2y+60$$

Ersätt x med -2y+60 i den andra ekvationen, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Addera -2y till -y.

$$-3y+60=30$$

Subtrahera 60 från båda ekvationsled.

$$-3y=-30$$

Dividera båda led med -3.

$$y=10$$

Ersätt y med 10 i x=-2y+60. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-2\times 10+60$$

Multiplicera -2 med 10.

$$x=-20+60$$

Addera 60 till -20.

$$x=40$$

Systemet har lösts.

$$x=40,y=10$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=40,y=10$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Subtrahera x-y=30 från x+2y=60 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Addera x till -x. Termerna x och -x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$2y+y=60-30$$

Addera 2y till y.

$$3y=60-30$$

Addera 60 till -30.

$$3y=30$$

Dividera båda led med 3.

$$y=10$$

Ersätt y med 10 i x-y=30. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-10=30$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$x=40$$

Systemet har lösts.

$$x=40,y=10$$