Lös {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Lös ut x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Steg med substitution

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=-5$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+2y=1$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$x=-2y+1$$

Ersätt x med -2y+1 i den andra ekvationen, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Addera -2y till -y.

$$-3y+1=-5$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$-3y=-6$$

Dividera båda led med -3.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i x=-2y+1. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-2\times 2+1$$

Multiplicera -2 med 2.

$$x=-4+1$$

Addera 1 till -4.

$$x=-3$$

Systemet har lösts.

$$x=-3,y=2$$

Steg med matriser

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=-5$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-3,y=2$$

Steg med eliminering

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=-5$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Subtrahera x-y=-5 från x+2y=1 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Addera x till -x. Termerna x och -x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$2y+y=1+5$$

Addera 2y till y.

$$3y=1+5$$

Addera 1 till 5.

$$3y=6$$

Dividera båda led med 3.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i x-y=-5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-2=-5$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=-3$$

Systemet har lösts.

$$x=-3,y=2$$