Lös ∫ (from 2 to 4) of (x+sqrt{x}) wrt x

$$\int_{ 2 }^{ 4 } (x+ \sqrt{ x } ) d x$$

Beräkna

$$\frac{34-4\sqrt{2}}{3}\approx 9,44771525$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Skriv om \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Förenkla.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{2^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}\right)$$

Förenkla.

$$\frac{34-4\sqrt{2}}{3}$$