Lös ∫ (from 1 to 3) of (3x^3-2x+5) wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 3 } (3 { x }^{ 3 } -2x+5) d x$$

Beräkna

$$62$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int 3x^{3}-2x+5\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera 3 med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{4}}{4}-2\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera -2 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{4}}{4}-x^{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 5 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{3x^{4}}{4}-x^{2}+5x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{3}{4}\times 3^{4}-3^{2}+5\times 3-\left(\frac{3}{4}\times 1^{4}-1^{2}+5\times 1\right)$$

Förenkla.

$$62$$