Lös ∫ (from -1 to 1) of -y^2+1 wrt y

$$\int_{ -1 }^{ 1 } - { y }^{ 2 } +1 d y$$

Beräkna

$$\frac{4}{3}\approx 1,333333333$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int -y^{2}+1\mathrm{d}y$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int 1\mathrm{d}y$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int 1\mathrm{d}y$$

Sedan \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multiplicera -1 med \frac{y^{3}}{3}.

$$-\frac{y^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}y$$

Leta reda på integralen av 1 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}y=ay.

$$-\frac{y^{3}}{3}+y$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$-\frac{1^{3}}{3}+1-\left(-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-1\right)$$

Förenkla.

$$\frac{4}{3}$$