Lös ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

Beräkna

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int r\mathrm{d}z$$

Leta reda på integralen av r med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}z=az.

$$rz$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

Förenkla.

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

Derivera m.a.p. r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$