Lös ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Beräkna

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Lösningssteg

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera \sqrt{x}+1 med \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Beräkna \sqrt{x} upphöjt till 2 och få x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Skriv om \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Förenkla.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Förenkla.

$$\frac{271}{6}$$