Lös ∫ (from 1 to 3) of -x^2+2x+3 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x + 3 d x$$

Beräkna

$$\frac{16}{3}\approx 5,333333333$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int -x^{2}+2x+3\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera -1 med \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 2 med \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int 3\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 3 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$-\frac{3^{3}}{3}+3^{2}+3\times 3-\left(-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+3\times 1\right)$$

Förenkla.

$$\frac{16}{3}$$