Lös ∫ (from 1 to 3) of (3x^2+2x+1) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 ) d x$$

Beräkna

$$36$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int 3x^{2}+2x+1\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 3 med \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 2 med \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}+x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 1 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{3}+x^{2}+x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$3^{3}+3^{2}+3-\left(1^{3}+1^{2}+1\right)$$

Förenkla.

$$36$$