Lös ∫ (from 1 to 2) of (x^3+5)^2(3x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } ) d x$$

Beräkna

$$\frac{1981}{3}\approx 660,333333333$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x^{3}+5\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 3 och 2 för att få 6.

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{6}+10x^{3}+25 med 3.

$$\int _{1}^{2}\left(3x^{6}+30x^{3}+75\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x^{6}+30x^{3}+75 med x^{2}.

$$\int _{1}^{2}3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int 3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 3x^{8}\mathrm{d}x+\int 30x^{5}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$3\int x^{8}\mathrm{d}x+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{8}\mathrm{d}x med \frac{x^{9}}{9}. Multiplicera 3 med \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{x^{9}}{3}+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{5}\mathrm{d}x med \frac{x^{6}}{6}. Multiplicera 30 med \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 75 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+25x^{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$25\times 2^{3}+5\times 2^{6}+\frac{2^{9}}{3}-\left(25\times 1^{3}+5\times 1^{6}+\frac{1^{9}}{3}\right)$$

Förenkla.

$$\frac{1981}{3}$$