Lös ∫ (from 0 to 5) of x^2(x-3)(x-5)

$$\int _ { 0 } ^ { 5 } x ^ { 2 } ( x - 3 ) ( x - 5 )$$

Beräkna

$$0$$

Lösningssteg

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2} med x-3.

$$\int _{0}^{5}\left(x^{3}-3x^{2}\right)\left(x-5\right)\mathrm{d}x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{3}-3x^{2} med x-5 och slå ihop lika termer.

$$\int _{0}^{5}x^{4}-8x^{3}+15x^{2}\mathrm{d}x$$

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int x^{4}-8x^{3}+15x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x+\int 15x^{2}\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{3}\mathrm{d}x+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera -8 med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 15 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+5x^{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{5^{5}}{5}-2\times 5^{4}+5\times 5^{3}-\left(\frac{0^{5}}{5}-2\times 0^{4}+5\times 0^{3}\right)$$

Förenkla.

$$0$$