Lös ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Beräkna

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Beräkna \sqrt{x} upphöjt till 2 och få x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Hitta motsatsen till 16-8\sqrt{x}+x genom att hitta motsatsen till varje term.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Subtrahera 16 från 6 för att få -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av -10 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Skriv om \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Förenkla. Multiplicera 8 med \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera -1 med \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Förenkla.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Förenkla.

$$-\frac{16}{3}$$