Lös ∫ (from 0 to 2 pi) of (t-sint)dt

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) d t$$

Beräkna

$$2\pi ^{2}\approx 19,739208802$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int t-\sin(t)\mathrm{d}t$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -\sin(t)\mathrm{d}t$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int t\mathrm{d}t-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Sedan \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Använd \int \sin(t)\mathrm{d}t=-\cos(t) från tabellen vanliga integraler för att få resultatet. Multiplicera -1 med -\cos(t).

$$\frac{t^{2}}{2}+\cos(t)$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\pi \right)^{2}+\cos(2\pi )-\left(\frac{0^{2}}{2}+\cos(0)\right)$$

Förenkla.

$$2\pi ^{2}$$