Lös ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Beräkna

$$1$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Leta reda på integralen av 1 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Sedan \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int v^{3}\mathrm{d}v med \frac{v^{4}}{4}. Multiplicera -8 med \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Sedan \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int v^{7}\mathrm{d}v med \frac{v^{8}}{8}. Multiplicera 16 med \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Förenkla.

$$1$$