Lös ∫ (from 0 to 1) of ln(1+p^2)d(1+p^2)

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ( 1 + p ^ { 2 } ) d ( 1 + p ^ { 2 } )$$

Beräkna

$$d\left(p^{2}+1\right)\ln(p^{2}+1)$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int d\left(1+p^{2}\right)\log_{e}\left(1+p^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av d\left(1+p^{2}\right)\log_{e}\left(1+p^{2}\right) med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$d\left(1+p^{2}\right)\log_{e}\left(1+p^{2}\right)x$$

Förenkla.

$$\ln(1+p^{2})d\left(1+p^{2}\right)x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\ln(1+p^{2})d\left(1+p^{2}\right)\times 1-\ln(1+p^{2})d\left(1+p^{2}\right)\times 0$$

Förenkla.

$$\ln(1+p^{2})d\left(1+p^{2}\right)$$

Derivera m.a.p. p

$$2dp\left(\ln(p^{2}+1)+1\right)$$