Lös ∫ (from 0 to 1) of 1/3-1/3y^3 wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { 3 } d y$$

Beräkna

$$\frac{1}{4}=0,25$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int \frac{1-y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y+\int -\frac{y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y-\frac{\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Leta reda på integralen av \frac{1}{3} med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y-\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Sedan \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int y^{3}\mathrm{d}y med \frac{y^{4}}{4}. Multiplicera -\frac{1}{3} med \frac{y^{4}}{4}.

$$\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{12}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{1}{3}\times 1-\frac{1^{4}}{12}-\left(\frac{1}{3}\times 0-\frac{0^{4}}{12}\right)$$

Förenkla.

$$\frac{1}{4}$$