Lös ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Beräkna

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Förenkla.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Derivera m.a.p. θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$