Lös ∫ (from - 8 to 8) of x^4+x^3+2x+1 wrt x

$$\int _ { - 8 } ^ { 8 } x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 2 x + 1 d x$$

Beräkna

$$\frac{65616}{5}=13123,2$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int x^{4}+x^{3}+2x+1\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 2 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 1 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+x^{2}+x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{8^{5}}{5}+\frac{8^{4}}{4}+8^{2}+8-\left(\frac{\left(-8\right)^{5}}{5}+\frac{\left(-8\right)^{4}}{4}+\left(-8\right)^{2}-8\right)$$

Förenkla.

$$\frac{65616}{5}$$