Lös ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Beräkna

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Lösningssteg

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 1-y med y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Sedan \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Sedan \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multiplicera -1 med \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Förenkla.

$$-\frac{2}{3}$$