Lös ∫ (x-6)(x-5)(x-4)

$$\int ( x - 6 ) ( x - 5 ) ( x - 4 )$$

Beräkna

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x+С$$

Lösningssteg

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av x-6 med varje term av x-5.

$$\int \left(x^{2}-5x-6x+30\right)\left(x-4\right)\mathrm{d}x$$

Slå ihop -5x och -6x för att få -11x.

$$\int \left(x^{2}-11x+30\right)\left(x-4\right)\mathrm{d}x$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av x^{2}-11x+30 med varje term av x-4.

$$\int x^{3}-4x^{2}-11x^{2}+44x+30x-120\mathrm{d}x$$

Slå ihop -4x^{2} och -11x^{2} för att få -15x^{2}.

$$\int x^{3}-15x^{2}+44x+30x-120\mathrm{d}x$$

Slå ihop 44x och 30x för att få 74x.

$$\int x^{3}-15x^{2}+74x-120\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -15x^{2}\mathrm{d}x+\int 74x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-15\int x^{2}\mathrm{d}x+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-15\int x^{2}\mathrm{d}x+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera -15 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 74 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}+\int -120\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av -120 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)$$