Lös ∫ (x+1)(2x+2)(x+1)

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Beräkna

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

Lösningssteg

Multiplicera x+1 och x+1 för att få \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av x^{2}+2x+1 med varje term av 2x+2.

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Slå ihop 2x^{2} och 4x^{2} för att få 6x^{2}.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Slå ihop 4x och 2x för att få 6x.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera 2 med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 6 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 6 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 2 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$2\left(x+1\right)^{3}$$