Lös ∫ (4x-3)^3 wrt x

$$\int ( 4 x - 3 ) ^ { 3 } d x$$

Beräkna

$$\frac{\left(4x-3\right)^{4}}{16}+С$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} för att expandera \left(4x-3\right)^{3}.

$$\int 64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -144x^{2}\mathrm{d}x+\int 108x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera 64 med \frac{x^{4}}{4}.

$$16x^{4}-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera -144 med \frac{x^{3}}{3}.

$$16x^{4}-48x^{3}+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 108 med \frac{x^{2}}{2}.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}+\int -27\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av -27 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(4x-3\right)^{3}$$