Lös ∫ (3x+2)^3

$$\int ( 3 x + 2 ) ^ { 3 }$$

Beräkna

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} för att expandera \left(3x+2\right)^{3}.

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera 27 med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 54 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 36 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 8 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(3x+2\right)^{3}$$