Lös ∫ (2x-1)(4x+5) wrt x

$$\int ( 2 x - 1 ) ( 4 x + 5 ) d x$$

Beräkna

$$\frac{8x^{3}}{3}+3x^{2}-5x+С$$

Lösningssteg

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av 2x-1 med varje term av 4x+5.

$$\int 8x^{2}+10x-4x-5\mathrm{d}x$$

Slå ihop 10x och -4x för att få 6x.

$$\int 8x^{2}+6x-5\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 8x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$8\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 8 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{8x^{3}}{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 6 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{8x^{3}}{3}+3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av -5 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8x^{3}}{3}+3x^{2}-5x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$\frac{8x^{3}}{3}+3x^{2}-5x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(2x-1\right)\left(4x+5\right)$$