Lös ∫ (2x^3-4x+1) wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 3 } - 4 x + 1 ) d x$$

Beräkna

$$\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+x+С$$

Lösningssteg

Integrera summan för termer per term.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicera 2 med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera -4 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 1 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+x$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+x+С$$

Derivera m.a.p. x

$$2x^{3}-4x+1$$