Lös ∫ (2x^2+3)^3 wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 3 } d x$$

Beräkna

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x+С$$

Lösningssteg

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} för att expandera \left(2x^{2}+3\right)^{3}.

$$\int 8\left(x^{2}\right)^{3}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 2 och 3 för att få 6.

$$\int 8x^{6}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 2 och 2 för att få 4.

$$\int 8x^{6}+36x^{4}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 8x^{6}\mathrm{d}x+\int 36x^{4}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$8\int x^{6}\mathrm{d}x+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{6}\mathrm{d}x med \frac{x^{7}}{7}. Multiplicera 8 med \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multiplicera 36 med \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 54 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+\int 27\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av 27 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x$$

Förenkla.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(2x^{2}+3\right)^{3}$$