Lös ∫ (sqrt{x}+sqrt[3]{x^4}+3sqrt{x^3}) wrt x

$$\int ( \sqrt { x } + \sqrt[ 3 ] { x ^ { 4 } } + 3 \sqrt { x ^ { 3 } } ) d x$$

Beräkna

$$\frac{6x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

Lösningssteg

Integrera summan för termer per term.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x+\int 3x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x+3\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$$

Skriv om \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Förenkla.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x+3\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x med \frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}+3\int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x med \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}. Multiplicera 3 med \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}+\frac{6x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

Om F\left(x\right) är en dederivat av f\left(x\right) får mängden av alla polyderivat av f\left(x\right) med F\left(x\right)+C. Lägg därför C\in \mathrm{R} till den till resultatet.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}+\frac{6x^{\frac{5}{2}}}{5}+С$$

Derivera m.a.p. x

$$\sqrt{x}\left(3x+x^{\frac{5}{6}}+1\right)$$