Lös d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Beräkna

$$\cos(x)$$

Steg med definitionen av derivata

För en funktion, f\left(x\right), är derivatan gränsvärdet för \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} då h går mot 0, om gränsvärdet existerar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Använd additionsformeln för sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Bryt ut \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Använd det faktum att x är en konstant vid beräkning av gränsvärden när h går mot 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} är 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Du beräknar gränsvärdet \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} genom att först multiplicera täljare och nämnare med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicera \cos(h)+1 med \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Använd trigonometriska ettan.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} är 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Använd det faktum att \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} är kontinuerlig vid 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sätt in värdet 0 i uttrycket \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Derivera m.a.p. x

$$-\sin(x)$$