Lös x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -\frac{1}{2},1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicera x-1 och x-1 för att få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicera 2x+1 och 2x+1 för att få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 2x+1 och slå ihop lika termer.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Slå ihop 4x^{2} och 6x^{2} för att få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Slå ihop 4x och -3x för att få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtrahera 3 från 1 för att få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtrahera 10x^{2} från båda led.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Slå ihop x^{2} och -10x^{2} för att få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtrahera x från båda led.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Slå ihop -2x och -x för att få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Lägg till 2 på båda sidorna.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Addera 1 och 2 för att få 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -9, b med -3 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 36 med 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Addera 9 till 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Dra kvadratroten ur 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 2 med -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} när ± är plus. Addera 3 till 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Dela 3+3\sqrt{13} med -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{13} från 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Dela 3-3\sqrt{13} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -\frac{1}{2},1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicera x-1 och x-1 för att få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicera 2x+1 och 2x+1 för att få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 2x+1 och slå ihop lika termer.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Slå ihop 4x^{2} och 6x^{2} för att få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Slå ihop 4x och -3x för att få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtrahera 3 från 1 för att få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtrahera 10x^{2} från båda led.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Slå ihop x^{2} och -10x^{2} för att få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtrahera x från båda led.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Slå ihop -2x och -x för att få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Subtrahera 1 från -2 för att få -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Dividera båda led med -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Division med -9 tar ut multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{-3}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{-3}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividera \frac{1}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Addera \frac{1}{3} till \frac{1}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$