Lös x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2\left(x^{2}+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplicera 2 och -\frac{1}{2} för att få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Hitta motsatsen till x^{2}+1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från 2 för att få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 2 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 4 till 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} när ± är plus. Addera -2 till 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Dela -2+2\sqrt{2} med -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{2} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Dela -2-2\sqrt{2} med -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2\left(x^{2}+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplicera 2 och -\frac{1}{2} för att få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Hitta motsatsen till x^{2}+1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från 2 för att få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Subtrahera 1 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$2x-x^{2}=-1$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Dela 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Dela -1 med -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Addera 1 till 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Förenkla.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$