Lös 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -\frac{1}{2},0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(2x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera 2x+1 och 2x+1 för att få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera x och x för att få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Slå ihop 4x^{2} och x^{2}\times 4 för att få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Subtrahera 10x^{2} från båda led.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Slå ihop 8x^{2} och -10x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Slå ihop 4x och -5x för att få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -2x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=1 b=-2$$

Skriv om -2x^{2}-x+1 som \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Lös 2x-1=0 och -x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -\frac{1}{2},0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(2x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera 2x+1 och 2x+1 för att få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera x och x för att få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Slå ihop 4x^{2} och x^{2}\times 4 för att få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Subtrahera 10x^{2} från båda led.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Slå ihop 8x^{2} och -10x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Slå ihop 4x och -5x för att få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med -1 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 1 till 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±3}{-4} när ± är plus. Addera 1 till 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Dela 4 med -4.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±3}{-4} när ± är minus. Subtrahera 3 från 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -\frac{1}{2},0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(2x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera 2x+1 och 2x+1 för att få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multiplicera x och x för att få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Slå ihop 4x^{2} och x^{2}\times 4 för att få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Subtrahera 10x^{2} från båda led.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Slå ihop 8x^{2} och -10x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Slå ihop 4x och -5x för att få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Dela -1 med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Dela -1 med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$