Lös frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Lös ut b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Steg för lösning av rotuttrycksekvationer

Rationalisera nämnaren i \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Överväg \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Subtrahera 5 från 4 för att få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplicera 2+\sqrt{5} och 2+\sqrt{5} för att få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadraten av \sqrt{5} är 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Addera 4 och 5 för att få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Något som delas med -1 ger sin motsats. Hitta motsatsen till 9+4\sqrt{5} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Rationalisera nämnaren i \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Överväg \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Subtrahera 5 från 4 för att få -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplicera 2-\sqrt{5} och 2-\sqrt{5} för att få \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadraten av \sqrt{5} är 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Addera 4 och 5 för att få 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Något som delas med -1 ger sin motsats. Hitta motsatsen till 9-4\sqrt{5} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Subtrahera 9 från -9 för att få -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Slå ihop -4\sqrt{5} och 4\sqrt{5} för att få 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Subtrahera a från båda led.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Lös ut a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Lös ut b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Lös ut a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$