Lös frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Beräkna

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Överväg \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Subtrahera 3 från 4 för att få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Om något divideras med ett blir det fortfarande samma.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multiplicera 2+\sqrt{3} och 2+\sqrt{3} för att få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Rationalisera nämnaren i \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Överväg \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Subtrahera 3 från 4 för att få 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Om något divideras med ett blir det fortfarande samma.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multiplicera 2-\sqrt{3} och 2-\sqrt{3} för att få \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Addera 4 och 3 för att få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Addera 4 och 3 för att få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Hitta motsatsen till 7-4\sqrt{3} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Motsatsen till -4\sqrt{3} är 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Subtrahera 7 från 7 för att få 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Slå ihop 4\sqrt{3} och 4\sqrt{3} för att få 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$