Lös frac{1+sqrt{3}}{1-sqrt{3}}

$$\frac{ 1+ \sqrt{ 3 } }{ 1- \sqrt{ 3 } }$$

Beräkna

$$-\sqrt{3}-2\approx -3,732050808$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 1+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}$$

Överväg \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrera 1. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1-3}$$

Subtrahera 3 från 1 för att få -2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{-2}$$

Multiplicera 1+\sqrt{3} och 1+\sqrt{3} för att få \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\frac{1+2\sqrt{3}+3}{-2}$$

Addera 1 och 3 för att få 4.

$$\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}$$

Dividera varje term av 4+2\sqrt{3} med -2 för att få -2-\sqrt{3}.

$$-2-\sqrt{3}$$