Lös x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Lös ut x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 21, den minsta gemensamma multipeln för 7,3.

$$3x+7y=105$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 14.

$$-x+42y=364$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x+7y=105$$

Subtrahera 7y från båda ekvationsled.

$$3x=-7y+105$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Ersätt x med -\frac{7y}{3}+35 i den andra ekvationen, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplicera -1 med -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Addera \frac{7y}{3} till 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Addera 35 till båda ekvationsled.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Dela båda ekvationsled med \frac{133}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=9$$

Ersätt y med 9 i x=-\frac{7}{3}y+35. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplicera -\frac{7}{3} med 9.

$$x=-21+35$$

Addera 35 till -21.

$$x=14$$

Systemet har lösts.

$$x=14,y=9$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 21, den minsta gemensamma multipeln för 7,3.

$$3x+7y=105$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 14.

$$-x+42y=364$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=14,y=9$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 21, den minsta gemensamma multipeln för 7,3.

$$3x+7y=105$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 14.

$$-x+42y=364$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Gör 3x och -x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Förenkla.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Subtrahera -3x+126y=1092 från -3x-7y=-105 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Addera -3x till 3x. Termerna -3x och 3x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Addera -7y till -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Addera -105 till -1092.

$$-133y=-1197$$

Dividera båda led med -133.

$$y=9$$

Ersätt y med 9 i -x+42y=364. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplicera 42 med 9.

$$-x+378=364$$

Subtrahera 378 från båda ekvationsled.

$$-x=-14$$

Dividera båda led med -1.

$$x=14$$

Systemet har lösts.

$$x=14,y=9$$