Lös x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Lös ut x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 20, den minsta gemensamma multipeln för 5,4.

$$4x=5y$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Ersätt x med \frac{5y}{4} i den andra ekvationen, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Addera -\frac{5y}{4} till y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplicera båda led med -4.

$$y=12$$

Ersätt y med 12 i x=\frac{5}{4}y. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplicera \frac{5}{4} med 12.

$$x=15$$

Systemet har lösts.

$$x=15,y=12$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 20, den minsta gemensamma multipeln för 5,4.

$$4x=5y$$

Subtrahera 5y från båda led.

$$4x-5y=0$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 3.

$$y=x-3$$

Subtrahera x från båda led.

$$y-x=-3$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=15,y=12$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 20, den minsta gemensamma multipeln för 5,4.

$$4x=5y$$

Subtrahera 5y från båda led.

$$4x-5y=0$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 3.

$$y=x-3$$

Subtrahera x från båda led.

$$y-x=-3$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Gör 4x och -x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Förenkla.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Subtrahera -4x+4y=-12 från -4x+5y=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Addera -4x till 4x. Termerna -4x och 4x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$5y-4y=12$$

Addera 5y till -4y.

$$y=12$$

Ersätt y med 12 i -x+y=-3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$-x+12=-3$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$-x=-15$$

Dividera båda led med -1.

$$x=15$$

Systemet har lösts.

$$x=15,y=12$$