Lös x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera båda ekvationsled med \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -4 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Addera 16 till 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 4 till 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Dela 4+2\sqrt{5} med 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{5} från 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Dela 4-2\sqrt{5} med 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Multiplicera båda ekvationsled med \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Lägg till 1 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$x^{2}-4x=1$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Addera 1 till 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Förenkla.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$