Lös x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Lös ut x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Subtraktion av -2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Subtrahera -2 från 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{1}{9}, b med -\frac{4}{3} och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kvadrera -\frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicera -4 med \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicera -\frac{4}{9} med 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Addera \frac{16}{9} till -\frac{8}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Dra kvadratroten ur \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Motsatsen till -\frac{4}{3} är \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicera 2 med \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} när ± är plus. Addera \frac{4}{3} till \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dela \frac{4+2\sqrt{2}}{3} med \frac{2}{9} genom att multiplicera \frac{4+2\sqrt{2}}{3} med reciproken till \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} när ± är minus. Subtrahera \frac{2\sqrt{2}}{3} från \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dela \frac{4-2\sqrt{2}}{3} med \frac{2}{9} genom att multiplicera \frac{4-2\sqrt{2}}{3} med reciproken till \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Multiplicera båda led med 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Division med \frac{1}{9} tar ut multiplikationen med \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dela -\frac{4}{3} med \frac{1}{9} genom att multiplicera -\frac{4}{3} med reciproken till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dela -2 med \frac{1}{9} genom att multiplicera -2 med reciproken till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Dividera -12, koefficienten för termen x, med 2 för att få -6. Addera sedan kvadraten av -6 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrera -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Addera -18 till 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Faktorisera x^{2}-12x+36. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Förenkla.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$