Lös x^2/4-x+1/2=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - x + \frac { 1 } { 2 } = 0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

$$x=2-\sqrt{2}\approx 0,585786438$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+\frac{1}{2}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{1}{4}, b med -1 och c med \frac{1}{2} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicera -4 med \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-\frac{1}{2}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Addera 1 till -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\frac{1}{2}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Dra kvadratroten ur \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicera 2 med \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} när ± är plus. Addera 1 till \frac{\sqrt{2}}{2}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{1}{2}}$$

Dela 1+\frac{\sqrt{2}}{2} med \frac{1}{2} genom att multiplicera 1+\frac{\sqrt{2}}{2} med reciproken till \frac{1}{2}.

$$x=\sqrt{2}+2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} när ± är minus. Subtrahera \frac{\sqrt{2}}{2} från 1.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{1}{2}}$$

Dela 1-\frac{\sqrt{2}}{2} med \frac{1}{2} genom att multiplicera 1-\frac{\sqrt{2}}{2} med reciproken till \frac{1}{2}.

$$x=2-\sqrt{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+\frac{1}{2}=0$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraktion av \frac{1}{2} från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x=-\frac{1}{2}$$

Multiplicera båda led med 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-x}{\frac{1}{4}}=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$$

Division med \frac{1}{4} tar ut multiplikationen med \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$$

Dela -1 med \frac{1}{4} genom att multiplicera -1 med reciproken till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$$

Dela -\frac{1}{2} med \frac{1}{4} genom att multiplicera -\frac{1}{2} med reciproken till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-2$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-2+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=-2+4$$

Addera -2 till 4.

$$x^{2}-4x+4=2$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Förenkla.

$$x-2=\sqrt{2} x-2=-\sqrt{2}$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$