Lös frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Beräkna

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} genom att multiplicera täljare och nämnare med i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Överväg \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrera i. Kvadrera \sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Subtrahera 2 från -1 för att få -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av i\sqrt{2}-5 med varje term av i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Multiplicera -i och 2 för att få -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Subtrahera 5i från -2i för att få -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Slå ihop -\sqrt{2} och 5\sqrt{2} för att få 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Multiplicera både täljaren och nämnaren med -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Reell del

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$