Lös f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Lös ut f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 33, den minsta gemensamma multipeln för 11,33.

$$3f=g$$

Dividera båda led med 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Ersätt f med \frac{g}{3} i den andra ekvationen, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Addera \frac{g}{3} till g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Dela båda ekvationsled med \frac{4}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$g=30$$

Ersätt g med 30 i f=\frac{1}{3}g. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut f direkt.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplicera \frac{1}{3} med 30.

$$f=10$$

Systemet har lösts.

$$f=10,g=30$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 33, den minsta gemensamma multipeln för 11,33.

$$3f=g$$

Subtrahera g från båda led.

$$3f-g=0$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen f och g.

$$f=10,g=30$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 33, den minsta gemensamma multipeln för 11,33.

$$3f=g$$

Subtrahera g från båda led.

$$3f-g=0$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Gör 3f och f lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Förenkla.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Subtrahera 3f+3g=120 från 3f-g=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Addera 3f till -3f. Termerna 3f och -3f tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-g-3g=-120$$

Addera -g till -3g.

$$-4g=-120$$

Dividera båda led med -4.

$$g=30$$

Ersätt g med 30 i f+g=40. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut f direkt.

$$f+30=40$$

Subtrahera 30 från båda ekvationsled.

$$f=10$$

Systemet har lösts.

$$f=10,g=30$$