Lös 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Lös ut x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -15,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 4x\left(x+15\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och 75 för att få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och \frac{1}{4} för att få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Slå ihop 300x och 15x för att få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahera 315x från båda led.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Slå ihop 300x och -315x för att få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+4500. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Lösningen är det par som ger Summa -15.

$$a=60 b=-75$$

Skriv om -x^{2}-15x+4500 som \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Utfaktor x i den första och den 75 i den andra gruppen.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+60 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Lös -x+60=0 och x+75=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=60 x=-75$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -15,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 4x\left(x+15\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och 75 för att få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och \frac{1}{4} för att få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Slå ihop 300x och 15x för att få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahera 315x från båda led.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Slå ihop 300x och -315x för att få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -15 och c med 4500 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 225 till 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±135}{-2} när ± är plus. Addera 15 till 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Dela 150 med -2.

$$x=-75$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±135}{-2} när ± är minus. Subtrahera 135 från 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Dela -120 med -2.

$$x=60$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-75 x=60$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -15,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 4x\left(x+15\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och 75 för att få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicera 4 och \frac{1}{4} för att få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Slå ihop 300x och 15x för att få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtrahera 315x från båda led.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Slå ihop 300x och -315x för att få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Subtrahera 4500 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Dela -15 med -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Dela -4500 med -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Dividera 15, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Addera 4500 till \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Faktorisera x^{2}+15x+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Subtrahera \frac{15}{2} från båda ekvationsled.

$$x=60 x=-75$$