Lös frac{7+sqrt{6}}{7-sqrt{6}}-frac{7-sqrt{6}}{7+sqrt{6}}

$$\frac { 7 + \sqrt { 6 } } { 7 - \sqrt { 6 } } - \frac { 7 - \sqrt { 6 } } { 7 + \sqrt { 6 } }$$

Beräkna

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}\approx 1,595016577$$

Steg för kort lösning

Rationalisera nämnaren i \frac{7+\sqrt{6}}{7-\sqrt{6}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 7+\sqrt{6}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Överväg \left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Kvadrera 7. Kvadrera \sqrt{6}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{49-6}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Subtrahera 6 från 49 för att få 43.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Multiplicera 7+\sqrt{6} och 7+\sqrt{6} för att få \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{49+14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Kvadraten av \sqrt{6} är 6.

$$\frac{49+14\sqrt{6}+6}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Addera 49 och 6 för att få 55.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Rationalisera nämnaren i \frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 7-\sqrt{6}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}$$

Överväg \left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

Kvadrera 7. Kvadrera \sqrt{6}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{49-6}$$

Subtrahera 6 från 49 för att få 43.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{43}$$

Multiplicera 7-\sqrt{6} och 7-\sqrt{6} för att få \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

Kvadraten av \sqrt{6} är 6.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+6}{43}$$

Addera 49 och 6 för att få 55.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{55-14\sqrt{6}}{43}$$

Eftersom \frac{55+14\sqrt{6}}{43} och \frac{55-14\sqrt{6}}{43} har samma nämnare subtraherar du dem genom att subtrahera deras täljare.

$$\frac{55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right)}{43}$$

Gör multiplikationerna i 55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right).

$$\frac{55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}}{43}$$

Gör beräkningarna i 55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}.

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}$$