Lös frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Beräkna

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Lösningssteg

Faktorisera 27=3^{2}\times 3. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{3^{2}\times 3} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Dra kvadratroten ur 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Rationalisera nämnaren i \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Överväg \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrera 4. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Subtrahera 3 från 16 för att få 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av 6+3\sqrt{3} med varje term av 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Slå ihop 6\sqrt{3} och 12\sqrt{3} för att få 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Multiplicera 3 och 3 för att få 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Addera 24 och 9 för att få 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$