Lös 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Lös ut x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$3x+2y=22$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$2x+y=14$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x på vänster sida om likhetstecknet.

$$3x+2y=22$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$3x=-2y+22$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Ersätt x med \frac{-2y+22}{3} i den andra ekvationen, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Multiplicera 2 med \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Addera -\frac{4y}{3} till y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Subtrahera \frac{44}{3} från båda ekvationsled.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Multiplicera båda led med -3.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Multiplicera -\frac{2}{3} med 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Addera \frac{22}{3} till -\frac{4}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=6$$

Systemet har lösts.

$$x=6,y=2$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$3x+2y=22$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$2x+y=14$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=6,y=2$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$3x+2y=22$$

Överväg den andra ekvationen. Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$2x+y=14$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Gör 3x och 2x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 2 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Förenkla.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Subtrahera 6x+3y=42 från 6x+4y=44 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Addera 6x till -6x. Termerna 6x och -6x förkortas och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$4y-3y=44-42$$

Addera 4y till -3y.

$$y=44-42$$

Addera 44 till -42.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i 2x+y=14. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$2x+2=14$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$2x=12$$

Dividera båda led med 2.

$$x=6$$

Systemet har lösts.

$$x=6,y=2$$