Lös 3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -3,3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-3\right)\left(x+3\right), den minsta gemensamma multipeln för 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Hitta motsatsen till 3x+2 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-3 med 5x+1 och slå ihop lika termer.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Addera -3 och 3 för att få 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Slå ihop -14x och x för att få -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtrahera 5x^{2} från båda led.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Lägg till 13x på båda sidorna.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Slå ihop -3x och 13x för att få 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 10 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 100 till -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Dra kvadratroten ur 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} när ± är plus. Addera -10 till 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Dela -10+2\sqrt{15} med -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{15} från -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Dela -10-2\sqrt{15} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -3,3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-3\right)\left(x+3\right), den minsta gemensamma multipeln för 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Hitta motsatsen till 3x+2 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-3 med 5x+1 och slå ihop lika termer.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Addera -3 och 3 för att få 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Slå ihop -14x och x för att få -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtrahera 5x^{2} från båda led.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Lägg till 13x på båda sidorna.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Slå ihop -3x och 13x för att få 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Lägg till 2 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$10x-5x^{2}=2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

Dela 10 med -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

Dela 2 med -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Addera -\frac{2}{5} till 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Förenkla.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$